La serie de los
números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…), ¿es o no finita?
En el libro noveno de los
Elementos de Euclides http://es.wikipedia.org/wiki/Euclides
, se halla planteada y resuelta esta cuestión. En él se demuestra que la serie
no tiene fin, es decir, que dado un número primo cualquiera, siempre se puede
encontrar otro aún mayor.
La demostración de Euclides es muy ingeniosa y no obstante
muy sencilla. Los números 3, 6, 9, 12,
15, 18,… son todos múltiplos de 3.
Ningún otro número es divisible por 3. Los números que siguen a los anteriores 4, 7, 10, 13, 16, 19,… que son todos
múltiplos de 3 aumentados en una unidad, no son divisibles por 3; por ejemplo: 19=6 x 3+1, 22=7 x 3+1, etc. De la misma
forma los múltiplos de 5 aumentados en una unidad no son divisibles por 5 (21=4 x 5+1, etc). Lo mismo ocurre con
7, con 11 y así sucesivamente.
Entonces Euclides escribe los números:
2 x 3+1 = 7
2 x 3 x 5+1= 31
2 x 3 x 5 x 7+1= 211
2 x 3 x 5 x 7 x 11+1=
2.311
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x
13+1= 30.031
…
Multiplica entre sí los dos primeros números primos, los
tres primeros números primos y así sucesivamente, aumentando cada producto en
una unidad. Ninguno de los números es divisible por ninguno de los factores
primos que han intervenido en su formación. Puesto que 31 es un múltiplo de 2
aumentado en una unidad no es divisible por 2;
como también es un múltiplo de 3
aumentado en una unidad tampoco será divisible por 3; asimismo, como es un
múltiplo de 5 aumentado en una unidad
tampoco es divisible por 5. Los números 311 y 2.311 también son primos, pero 30.031 no lo es. Sin embargo, al no ser
divisible por 2, 3, 5, 7, 11, ni 13, sus factores primos han de ser
mayores que 13. En efecto, si hacemos
un sencillo cálculo veremos que 30.031=59
x 509 y estos factores primos son mayores que 13.
Del mismo modo se puede seguir razonando indefinidamente.
Sea p un número primo cualquiera, e
indiquemos el producto de todos los números primos desde 2 hasta p. Aumentemos el
producto en una unidad y escribamos:
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x
13 x … x p + 1 = N
Ninguno de los factores primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,… ,p divide a N y entonces, o bien N es
un número primo (evidentemente mucho mayor que p) o bien todos los factores primos de N son distintos de 2, 3, 5,
7, …, p y por lo tanto mayores que p.
En cualquiera de los dos casos
hemos encontrado un nuevo número primo mayor que p, con los cual queda demostrado que, por muy grande que sea el
número escogido, siempre habrá uno mayor que él.
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