CONJUNTOS INFINITOS

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PRÁCTICA COMO CRIPTOANALISTA

Te proponemos que actúes como destructor de códigos en el siguiente ejemplo:
Cada letra en las palabras llevan asociado un valor numérico menor que 10 y estos valores son tales que multiplicados nos dan:
BAT=90, LET=168 y BET=105 ¿Qué valor asociaríamos a TABLE?

¿ES LA SERIE DE LOS NÚMEROS PRIMOS INFINITA?

La serie de los números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…), ¿es o no finita?

En el libro noveno de los Elementos de Euclides http://es.wikipedia.org/wiki/Euclides , se halla planteada y resuelta esta cuestión. En él se demuestra que la serie no tiene fin, es decir, que dado un número primo cualquiera, siempre se puede encontrar otro aún mayor.

La demostración de Euclides es muy ingeniosa y no obstante muy sencilla. Los números 3, 6, 9, 12, 15, 18,… son todos múltiplos de 3. Ningún otro número es divisible por 3. Los números que siguen a los anteriores 4, 7, 10, 13, 16, 19,… que son todos múltiplos de 3 aumentados en una unidad, no son divisibles por 3; por ejemplo: 19=6 x 3+1, 22=7 x 3+1, etc. De la misma forma los múltiplos de 5 aumentados en una unidad no son divisibles por 5 (21=4 x 5+1, etc). Lo mismo ocurre con 7, con 11 y así sucesivamente.

Entonces Euclides escribe los números:

2 x 3+1 = 7

2 x 3 x 5+1= 31

2 x 3 x 5 x 7+1= 211

2 x 3 x 5 x 7 x 11+1= 2.311

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13+1= 30.031

…

Multiplica entre sí los dos primeros números primos, los tres primeros números primos y así sucesivamente, aumentando cada producto en una unidad. Ninguno de los números es divisible por ninguno de los factores primos que han intervenido en su formación. Puesto que 31 es un múltiplo de 2 aumentado en una unidad no es divisible por 2; como también es un múltiplo de 3 aumentado en una unidad tampoco será divisible por 3; asimismo, como es un múltiplo de 5 aumentado en una unidad tampoco es divisible por 5. Los números 311 y 2.311 también son primos, pero 30.031 no lo es. Sin embargo, al no ser divisible por 2, 3, 5, 7, 11, ni 13, sus factores primos han de ser mayores que 13. En efecto, si hacemos un sencillo cálculo veremos que 30.031=59 x 509 y estos factores primos son mayores que 13.

Del mismo modo se puede seguir razonando indefinidamente. Sea p un número primo cualquiera, e indiquemos el producto de todos los números primos desde 2 hasta p. Aumentemos el producto en una unidad y escribamos:

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x … x p + 1 = N

Ninguno de los factores primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,… ,p divide a N y entonces, o bien N es un número primo (evidentemente mucho mayor que p) o bien todos los factores primos de N son distintos de 2, 3, 5, 7, …, p y por lo tanto mayores que p. En cualquiera de los dos casos  hemos encontrado un nuevo número primo mayor que p, con los cual queda demostrado que, por muy grande que sea el número escogido, siempre habrá uno mayor que él.

PRÓXIMA SESIÓN

SESIÓN Nº 2 (Viernes 4 Mayo a las 16:30)
Anécdotas de la historia. La reina María Estuardo y el Telegrama  Zimmermann
La esteganografía
La criptografía por transposición
La criptografía por sustitución: Cifrado César
Aritmética modular del cifrado César
El cifrado afín
El análisis de frecuencias (Sherlock Holmes)
El cifrado polialfabético (Alberti, De Vigenère)
El criptoanalista Charles Babbage